@qTef はじめまして。「x^y=y^xかつ0<x<yを満たす有理数の組(x,y)は無数に存在するか」の問題を解きました。結論は、する。

2011-03-23 16:06:17 - 返信元ツイートを取得する

@qtef 「x^y=y^xかつ0<x<y」⇔「ylog(x)=xlog(y)かつ0<x<y」⇒「y/x=log(y)/log(x)（=sとおきます。ただし0<x<yよりs>1）」⇔「y=sx=x^s（ここで、xとsが有理数ならyも有理数であることに注意）」（続く）

2011-03-23 16:11:57 - 返信元ツイートを取得する

@qtef 次に、「x^s-sx=0かつx>0」⇔x=s^{1/(s-1)}ですが、s=1/2+1,1/3+1,1/4+1,…,1/N+1,…とするとsはいずれも有理数で1/(s-1)は順に2,3,4,…N,…と自然数値をとりますから、このときxもまた有理数になります。

2011-03-23 16:18:34 - 返信元ツイートを取得する

@qtef sとxが有理数なので、先ほどの注意により、y（一応y=sx=s・s^{1/(s-1)}=s^{s/(s-1)}です）も有理数です。あとはsに先ほどの数を順に代入していくとxの値が無数に出現することを示します。

2011-03-23 16:29:15 - 返信元ツイートを取得する

@qtef s=1/n+1（nは2以上の自然数）のとき、x={(n+1)/n}^nですから、分母はn^nになります。ここでnとn+1は互いに素なので、xの分母にはいつも素因数nが含まれます。このことから、nに2,3,4,…を代入すると、相異なるxをいくらでも作れます。（証明終）

2011-03-23 16:38:53 - 返信元ツイートを取得する

@qTef という感じです。面白かったです。ありがとうございました。

2011-03-23 16:41:25 - 返信元ツイートを取得する